任务驱动、问题引领导学案设计案例 —— 余弦定理

任务驱动、问题引领导学案设计案例

—— 余弦定理

一、学习目标

1.能用向量方法发现和证明余弦定理；

2.掌握余弦定理及其推论. 知道余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例；

3.会用余弦定理及推论解三角形.

二、新知学习

任务一：用向量方法发现和证明余弦定理

问题1.已知一个三角形的两条边及其夹角,这个三角形的大小、形状能完全确定吗?

 

问题2.在△ABC中,三个角A,B,C所对的边分别是a,b,c,如果已知边a,b和角C,那么从向量的角度考虑,边c的长度可视为什么?向量如何用已知边所对应的向量表示?如何求出||?边c的长度用边a,b和角C如何表示?

 

 

 

3.(1)余弦定理（文字语言）:_____________________________________________

 (2)符号语言:

a²= b²+c²-2bccos A , 

b²= a²+c²-2accos B , 

c²= a²+b²-2abcos C . 

4.做一做:在△ABC中,AB=1,BC=2,B=60°,则AC=　　　　　.

 

 

任务二：余弦定理的推论

问题1：在△ABC中,三个角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知三条边,如何求出其三个内角?

2.余弦定理的推论:

cos A=,cos B=,cos C=.

3.做一做:在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.若a=6,b=8, c=5,则角B为(　　)

A.锐角      B.直角       C.钝角       D.不确定

4.判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.

(1)在三角形中,勾股定理是余弦定理针对直角三角形的一个特例.(    )

(2)已知三角形的三边求三个内角时,解是唯一的.(   )

(3)在△ABC中,若b²+c²>a²,则△ABC是锐角三角形.(   )

(4)在△ABC中,若b²+c²<a²,则△ABC是钝角三角形.(   )

任务三：利用余弦定理解三角形

问题1： 在△ABC中,三个角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=3,c= 3,A=30°,求a.

 

 

 

 

 

变式1.本例中将条件“A=30°”改为“B=30°”,其他条件不变,求a.

 

 

变式2.本例中将条件“A=30°”改为“C=60°”,其他条件不变,求a.

 

 

 

问题2：已知△ABC的三边长分别为a=2,b=2,c=,求△ABC各角的度数.

 

 

 

 

【变式训练】 已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若p∥q,求角C的大小.

 

 

三、课堂小结（请写出本节课你的收获吧）

1）知识方面：

2）思维方法：

3）合作学习：

4）你还有哪些困惑？

四、目标检测设计

1.在△ABC中,已知B=120°,a=3,c=5,则b等于(　　)

A.4                     B.                  C.7                    D.5

 

2.在△ABC中,已知a²+b²=c²+ba,则C等于(　　)

A.30°                    B.45°               C.135°             D.150°

 

3.在△ABC中,若c=3a,b²-a²=ac,则cos B的值为　　　　　. 

 

 

4.在△ABC中,已知a=8,B=60°,c=4(

+1),解此三角形.